Indicatii de rezolvare, clasa a V-a:

1. Cel mai mic patrat perfect, mai mare decat un numar dat, se poate gasi prin incercari.
2. Se calculeaza suma exponentilor din membrul stang, aceasta suma fiind valoarea lui x.
3. Se impart exponentii la 4 si se retine restul. Se ridica fiecare numar la restul corespunzator si se retine ultima cifra. Se aduna cifrele obtinute.
4. Se scrie baza puterii ca produs de numere prime si se scrie puterea ca produs de puteri cu bazele prime. Numarul divizorilor va fi produsul exponentilor mariti cu 1.
5. Daca patratul numarului ad se termina tot in d, deducem ca d poate fi 0,1,5 sau 6. Valoarea lui a este minim 3. Se ridica la patrat toate numerele ad astfel obtinute.
6. Un patrat perfect poate avea ultima cifra 0,1,4,5,6,9, deci sase valori. Pentru a exista k patrate perfecte cu diferenta oricaror doua divizibila cu 10, trebuie ca ele sa aiba aceeasi ultima cifra. Pe tabla trebuie sa avem minim (k-1)*6+1 patrate perfecte, conform principiului cutiei.
7. Suma contine un numar de termeni care este divizibil cu 12. Se grupeaza termenii cate doi si se scoate factor comun 1+3=4, se grupeaza termenii ramasi cate doi si iese factor 10, apoi se grupeaza termenii ramasi in paranteza cate 3,.... Factori obtinuti se inmultesc in diverse combinatii, incercand sa obtinem un numar cat mai mare de trei cifre. Aici punctajul se acorda in functie de marimea divizorului gasit.
8. Numarul dat se trece in baza 2, apoi in baza zece.
9. Se compara puterea lui 2 cu doua puteri consecutive ale lui 10.

Indicatii de rezolvare, clasa a VI-a:

1. Se scrie teorema impartirii cu rest pentru cele doua impartiri, se aduna 3, iar n+3 va fi cel mai mic multiplu comun al impartitorilor.
2. Se aduc fractiile la acelasi numitor si se determina valoarea minima si maxima pe care o poate lua numaratorul. Dintre valorile de la minim la maxima se observa ca numaratorul nu poate lua doua valori: 1 si maxim-1.
3. Se impart exponentii la 4 si se retine restul. Se ridica fiecare numar la restul corespunzator si se retine ultima cifra. Se aduna cifrele obtinute.
4. Se da x factor comun si se deduce ca x este un divizor al puterii din dreapta. Se afla numarul divizorilor acestei puteri.Se scrie baza puterii ca produs de numere prime si se scrie puterea ca produs de puteri cu bazele prime. Numarul divizorilor va fi produsul exponentilor mariti cu 1.
5. Daca patratul numarului ad se termina tot in d, deducem ca d poate fi 0,1,5 sau 6. Valoarea lui a este minim 3. Se ridica la patrat toate numerele ad astfel obtinute.
6. Un patrat perfect poate avea ultima cifra 0,1,4,5,6,9, deci sase valori. Pentru a exista k patrate perfecte cu diferenta oricaror doua divizibila cu 10, trebuie ca ele sa aiba aceeasi ultima cifra. Pe tabla trebuie sa avem minim (k-1)*6+1 patrate perfecte, conform principiului cutiei.
7. Suma contine un numar de termeni care este divizibil cu 12. Se grupeaza termenii cate doi si se scoate factor comun 1+3=4, se grupeaza termenii ramasi cate doi si iese factor 10, apoi se grupeaza termenii ramasi in paranteza cate 3,.... Factori obtinuti se inmultesc in diverse combinatii, incercand sa obtinem un numar cat mai mare de trei cifre. Aici punctajul se acorda in functie de marimea divizorului gasit.
8. Numarul dat se trece in baza 2, apoi in baza zece.
9. Se compara puterea lui 2 cu doua puteri consecutive ale lui 10.


Indicatii de rezolvare, clasele VII-VIII:

1. Se ia d un divizor comun al numaratorului si numitorului si se deduce, aplicand proprietatile relatiei de divizibilitate, ca d poate avea anumite valori(de ex. 2). Se cauta valorile lui n pentru care fractia se simplifica prin valorile posibile ale lui d.
2. Se noteaza suma ceruta cu S, se impart ambele relatii prin numarul care apare la numaratorii fractiilor, apoi se aduna cele doua relatii. Suma celor doua sume de fractii este 3. Se afla S din ecuatia rezultata.
3. Se egaleaza radicalul cu k si se ridica relatia la patrat. Se obtine o diferenta de patrate egala cu numarul de sub radical.
$ De\ exemplu\ pentru\ k^{2}-n^{2}=419,\ obtinem\ (k-n)(k+n)=419,\ deci\ k-n=1,\ k+n=419\ . Adunand\ relatiile\ obtinem\ k=210,\ n=219. $
4. Cum fractia este cel putin 1, deducem ca primul termen de la numarator este mai mare sau egal cu al doilea de la numitor. De aici se deduc valorile posibile ale lui b. Pentru fiecare valoare a lui b se pune conditia ca fractia sa fie numar natural (numaratorul e divizibil cu numitorul) si se determina valorile lui a.
5. Se inmultesc primii doi radicali si se scot factorii de sub radicalul obtinut. Numarul ramas sub radical este valoarea lui n.
6. Se introduce numarul sub radical, se extrage radicalul si se ia partea lui intreaga.
7. Suma contine un numar de termeni care este divizibil cu 12. Se grupeaza termenii cate doi si se scoate factor comun 1+3=4, se grupeaza termenii ramasi cate doi si iese factor 10, apoi se grupeaza termenii ramasi in paranteza cate 3,.... Factori obtinuti se inmultesc in diverse combinatii, incercand sa obtinem un numar cat mai mare de patru cifre. Aici punctajul se acorda in functie de marimea divizorului gasit.
8. Pentru a exista n persoane nascute in aceeasi zi, numarul minim de persoane din piata este (n-1)*366+1.
9. Aceste patrate perfecte se pot termina in 00, 44, 99. Se determina apoi numerele. (Nu se pot termina in 11 pentru ca ar fi de forma 4k+3 care nu este p.p., nici in 22, 33, 77, 88 datorita ultimei cifre, nici in 55 deoarece e divizibil cu 5 si nu este cu 25, nici in 22 sau 66 deoarece e divizibil cu 2 si nu e cu 4).

Obs. Testele se pot rezolva in continuare, insa punctele obtinute se vor adauga intr-un clasament neoficial. Puntajele cu zecimale se datoreaza problemei 7 de la fiecare clasa. Programul care evalueaza rezultatele trimise de voi afla toate numerele de trei respectiv patru cifre care divid acea suma de puteri ale lui 3, impart 1p la numarul de divizori gasiti, si verifica pe ce pozitie se afla divizorul gasit de voi. Se poate spune ca aceasta este o problema de cercetare.